Fernstudium 4. Semester

Selbständigkeit, Unterstützung und Musterlösungen

Grundsätzlich bin ich gerne für euch da, aber das Erstellen von PDF- und MP4-Dateien ist sehr zeitaufwändig, daher folgende Bitte an euch:

• Schaut euch die Beipiele und Arbeitsblätter GUT an, BEVOR ihr nachfragt.
• Gebt nicht gleich auf, wenn ihr etwas beim ersten Durchlesen nicht versteht.
• Wenn ihr eine Teilaufgabe nicht versteht, schaut euch den Rest der Aufgabe trotzdem an.
• Schaltet euch kurz, diskutiert, tauscht Ideen und Lösungen aus gegenseitig.
• Benutzt die Lehrmittel oder das Internet, wenn ihr Wissenslücken habt.

Wenn jemand von euch eine Aufgabe schön dargestellt und richtig gelöst hat, würde ich diese hier gerne als Musterlösung veröffentlichen. Bitte unterstütze deine Mitstudierenden und schick mir deine Lösung an teko@mathador.ch, danke schön.

Häufigste Fehler, Fehlersuche

• Hast du die Aufgabe richtig abgeschrieben?
• Hast du dein Resultat mit jenem der richtigen Aufgabe/Lösung verglichen?
• Hast du "Punkt vor Strich" und "Potenz vor Punkt" beachtet?
• Hast du auf beiden Seiten der Gleichung wirklich das Gleiche gemacht?
• Hast du vielleicht Betragsstriche bzw. +/- vergessen und dadurch eine Lösung verloren?
• Hast du richtig faktorisiert? Wenn du einen Summenterm z.B. mittels Linearfaktorzerlegung oder Binom in einen Produktterm umschreibst, dann multipliziere diesen wieder aus! Du müsstest wieder denselben Summenterm bekommen.
• Hast du bei einer quadratischen Gleichung
  a * x^2 + b * x = - c
  alles korrekt auf die linke Seite gerechnet, also
  a * x^2 + b * x + c = 0
  und hast du in der Diskriminante, bzw. in der abc-Formel die Vorzeichen von a, b und c beachtet?

Mathematische Symbole und Funktionen

Damit wir mathematische Terme in Fragen/Antworten korrekt aufschreiben können, hier eine kleine Zusammenstellung. Wenn euch noch was dazu einfällt, lasst es mich bitte wissen.

Übersicht Themen und Blöcke

1. Repetition Funktionen
   1. Neues Buch, wichtige Themen (Block 1)
2. Differentialrechnung
   1. Steigung einer Kurve, Ableitungsregeln (Block 2)
   2. Monotonie, Produkt- und Quotientenregel (Block 3)
   3. Kehrwertregel, Kettenregel, Krümmung einer Kurve (Block 4)
3. Kurvendiskussion
   1. Polynomfunktionen (Block 5)
   2. einfache gebrochenrationale Funktionen (Block 6)
   3. schwierigere gebrochenrationale Funktionen (Block 7)
4. Differentialrechnung, Anwendungen
   1. Tangenten und kürzeste Abstände (Block 8)
   2. Interpolation (Block 9)
   3. Erweiterte Interpolation (Teil 1) (Block 10)
   4. Erweiterte Interpolation (Teil 2) (Block 11)
   5. Extremwertaufgaben (Teil 1) (Block 12)
   6. Extremwertaufgaben (Teil 2) (Block 13)
   7. Test (Block 14)
5. Integralrechnung
   1. Stammfunktion, unbestimmtes Integral (Block 15)
   2. Bestimmtes Integral, Gebiet berechnen (Block 16)
6. Vordiplom
   1. Repetition, Vordiplom (Block 17)
   2. Einsicht Vordiplom (Block 18)

Block 1 (Mo 27.04. und Di 28.04.)

In Abweichung zum Unterrichtsprogramm repetieren wir Funktionen. Alles was ihr im neuen Buch "Differentialrechnung" zum Thema Relationen findet ist NICHT relevant, denn wir reden ausschliesslich über Funktionen. Im Buch werden Funktionen und Relationen parallel behandelt, weil Funktionen spezielle Relationen sind, was wir aber gleich wieder vergessen. Auch das Thema Grenzwert (lim steht für Limes) ist für uns NICHT relevant, d.h. wenn ihr im Buch irgendwo ein lim seht, müsst ihr nicht weiterlesen.

Die Themen und Aufgaben gemäss folgender Tabelle müssten euch bekannt vorkommen, wobei die Spalte P für Priorität steht, und M in der letzten Spalte für Seitenmitte. Löst so viele Aufgaben wie möglich. Wer will kann seine Lösungen an teko@mathador.ch mailen. Ich schau es mir dann an und gebe euch eine Rückmeldung.

Block 2 (Mo 04.05. und Di 05.05.)

Es geht um die Steigung f' (erste Ableitung) einer Funktion f, sowie erste Ableitungsregeln, mit welchen man f' aus f berechnen kann.

Block 3 (Mo 11.05. und Di 12.05.)

Repetiere mit Hilfe des neuen Buches "Differentialrechnung" folgende Ableitungsregeln: Potenzregel (Beispiele ab S.231), Konstanten- und Faktorregel (Beispiele ab S.236), Summenregel (Beispiele ab S.238)

Block 4 (Mo 18.05. und Di 19.05.)

Auf der Website Wolframalpha.com kann man Ableitungen berechnen lassen, z.B. mit dem Befehl D[x^2, x]. Dabei steht das D für "Derivative" (engl. für Ableitung) und die Normalparabel x^2 ist die Funktion, welche abgeleitet werden soll. Das x sagt dem Programm, nach welcher Variable abgeleitet werden soll. Mit dem Befehl Plot[x^2, {x, -2, 2}] lässt sich die Normalparabel auch zeichnen auf dem Intervall von -2 bis 2. Siehe die folgende Tabelle für ein paar Beispiele, wobei man sogar Ableitungsregeln wie Summen-, Produkt- und Quotientregel überprüfen kann.

Block 5 (Mo 25.05. und Di 26.05.)

Eine häufige Anwendung der Differentialrechnung ist die Diskussion von Funktionen, auch Kurvendiskussion genannt, siehe S.448 im roten Buch. Man bestimmt dabei rechnerisch alle interessanten Eigenschaften einer Funktion, um daraus den Graph zu zeichnen. Man versteht dann besser was die Funktion "macht", d.h. wie der Output auf eine Veränderung des Inputs reagiert.

Abkürzungen: D = Definitionsbereich, ZV = Zuordnungsvorschrift, VZW = Vorzeichenwechsel

Block 6 (Mo 01.06. und Di 02.06.)

In Block 5.2 wurden neue, umfangreiche Kurvendiskussionen hinzugefügt. Versuche diese selbst zu rechnen, evtl. mit Hilfe des CAS auf Wolframalpha.com. Repetiere alle Themen aus dem 4. Semester.

Block 7 (Mo 08.06. und Di 09.06.)

In Block 5.3 wurden neue, umfangreiche Kurvendiskussionen hinzugefügt. Versuche diese selbst zu rechnen, evtl. mit Hilfe des CAS auf Wolframalpha.com. Repetiere alle Themen aus dem 4. Semester.

Block 8 (Mo 15.06. und Di 16.06.)

Es geht in diesem Block um Anwendungen der Differentialrechnung, d.h. z.B. um die Frage "Um wieviel muss man eine Gerade g verschieben, damit sie zur Tangente einer Funktion f in einem Berührungspunkt B wird und wo liegt dieser Punkt B?". Ausserdem sollen kürzeste Abstände zwischen zwei Graphen bestimmt werden.

Block 9 (Mo 22.06. und Di 23.06.)

Es geht in diesem Block um Interpolation, d.h. es werden Eigenschaften einer Funktion (Punkte auf deren Graph) vorgegeben und man soll aus diesen Eigenschaften die Zuordnungsvorschrift bestimmen. Dazu setzt man die Koordinaten jedes Punktes in die Zuordnungsvorschrift ein, z.B.

• f(x) = m x + b für eine lineare Funktion
• f(x) = a x^2 + b x + c für eine quadratische Funktion mit drei beliebigen Punkten
• f(x) = a (x - xs)^2 + ys für eine quadratische Funktion mit Scheitelpunkt
• f(x) = a (x - x1) (x - x2) für eine quadratische Funktion mit Nullstellen

und löst das so entstehende (lineare) Gleichungssystem. Das oberste Ziel beim Lösen von Gleichungssystemen ist das Eliminieren von Variablen, siehe Arbeitsblätter von Block 18 und 19 des ersten Semesters. Löse dazu das neue Arbeitsblatt Interpolation. Es handelt sich um eine Wiederholung des dritten Semesters, siehe Aufgaben 2.5 und 2.6 sowie Aufgabe 4.8 aus den alten Arbeitsblättern.

Block 10 (Mo 29.06. und Di 30.06.)

Es geht in diesem Block um erweiterte Interpolation, d.h. jetzt sind nicht nur Punkte vorgegeben welche auf dem Graph einer zu bestimmenden Funktion liegen, sondern z.B. auch deren Extrema und/oder Wendepunkte. Löse dazu das neue Arbeitsblatt Interpolation, wo die Aufgaben 5.1 und 5.2 als Vorbereitung für die eigentliche Aufgabe 5.3 dienen. Die Aufgabe 5.4 ist Thema im nächsten Block.

Block 11 (Mo 10.08. und Di 11.08.)

Löse die Aufgabe 5.4 aus dem Arbeitsblatt Interpolation von Block 10.

Block 12 (Mo 17.08. und Di 18.08.)

Löse die Extremwertaufgaben 6.1 aus diesem Arbeitsblatt.

Block 13 (Mo 24.08. und Di 25.08.)

Löse die Extremwertaufgaben 6.2 aus diesem Arbeitsblatt.

Block 14 (Mo 31.08. und Di 01.09.)

4. Test zu den Themen von Block 8 bis und mit Block 13. Diese Aufgabentypen sind sehr wichtig für's Vordiplom, d.h. es lohnt sich dafür genug Zeit zu investieren.

Block 15 (Mo 07.09. und Di 08.09.)

Integralrechnung, Stammfunktion, unbestimmtes Integral

Block 16 (Mo 14.09. und Di 15.09.)

Integralrechnung, bestimmtes Integral, Gebiet berechnen

Block 17 (Mo 21.09. und Di 22.09.)

Repetition, Fragen beantworten

Vordiplom Mathematik am Sa 26.09. von 9:00 bis 11:00

Block 18 (Mo 28.09. und Di 29.09.)

Einsicht Vordiplom Mathematik